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不要看学霸140+的分数,要看他的学习过程

文章发布于:2021-11-29 14:27:59


每个班级里,学霸总是耀眼的。比如数学学科,每次听到学霸140+的成绩时,许多人都会不自觉的去关注他,然后惊叹。

然而学霸真正值得观察的,恰恰不是他们的考试成绩,而是他们的学习过程。只可惜,学霸的学习过程处常常是难以观察的。

首先在于,你与学霸的距离很可能不够近。如果全班第一就坐在你的同桌,可能还有点机会。但大部分情况下,你的同桌也只是个普通人,而你很难勾着脖子越过四五张桌子去观察班级第一。

第二,你并没有什么好时机去观察班级里的学霸。他做作业的时候,你也在做作业,你不太可能经常自己不写作业而去观察人家的作业是怎么做的,更不可能去随便翻人家的笔记本。

第三, 也是最重要的,绝大部分学习过程的精髓,在于学霸大脑内部的思维路径,而这是外人完全无法知晓的——你又没有读心术。

所以,大部分情况下,你只能惊叹学霸数学140+的成绩,而不知道这是怎么来的。

今天这篇文章,我将给大家一次绝佳的机会,去观察一名“路标”级学霸的学习过程。这个学霸的设定是,先天智力一般,但掌握了多种高效的思维方法和学习策略,最终还是能够考上清北的后天培养型学霸。

我们设定如下场景:

该学霸是一名高一的学生,正在学习数学中《直线和圆》这一章。这一天,老师刚刚讲完章节新课,布置了一些作业下去,而他和所有学生一样,都在做相应的作业。

那么他会如何学习呢?他的大脑内部会有哪些思维呢?

 

在完成了几道基础练习题以后,他碰到了一道中档题:

请注意,这道题对于高三的学生来说,可能是比较简单的,但对于高一刚刚开始学新课,还没有做过大量练习题的学生来说,是属于中档题的。尤其,这道题是学完新课后第一次遇到,甚至可以算偏难的。

普通的学生大概率第一次是无法顺畅做出来的,常常是直接不会做,看着题目愣了一下,完全找不到思考方向,大脑里一片空白,然后直接看答案了。

那么学霸同学大脑里会怎么样运行思考呢?

他先愣了几秒钟,因为上课时的基础公式定理和概念中,没有涉及到这种中档题,没有见过原题,回忆了几秒钟之后,他判定这题没有原题可以套,需要自行深度思考。

接着,他开始尝试画图(可视化),并使用极限思考法

题目中,圆形是固定的,直线斜率固定,但位置是变化的。那么直线在哪里呢?他开始思考两种极限情况。

①如果直线距离圆极端近会怎么样?

②如果直线距离圆极端远会怎么样?

就两种情况快速画图。

如果极端近,那就是直线与圆相交了。经过画图发现,这种情况下,必然找得到一个P点满足条件。


如果极端远呢?画图后发现,太远了以后,所有的角APB就会变成锐角,无法满足条件。

于是大方向就立刻定下来了——这根线不能距离圆太远。这个定性,如果在纸上画图,大概15-20秒能够完成,如果在大脑中画,可能5-10秒就能完成了。

然后开始思考,这根线在什么情况下,会达成一个临界值呢?就是刚好只能找到一个点P,满足角APB=90°。

根据几何知识,角PAM和PBM都是90°,所以AMBP是个正方形,MA=2,所以PM=根号2。

即点M到直线的距离,不能超过根号2,你要是太远了就全部变成锐角了,没直角了。

于是套用一个点到直线距离公式,就搞定了。

 

这个中档题已经做完了,到此结束了吗?

对于学霸来说,还没有,还可以做进一步的思考。

大脑中思考如下:

●  这个题,要求求字母范围,没有直接的公式可用,一开始可能会陷入没有思路的情况,但使用极限思考法,可以快速找到思路方向——猜测这个章节的题目,极限思考法会比较常用。

●  这个题目与本章心学的公式是如何对应的呢?本质上是用的点到直线的距离公式,但中间穿插了一个几何关系——猜测这个章节的题目,可能会经常几何与代数一起用。这次用到了切线、正方形,还有什么几何其他关系可以用到呢?比如三角形?正弦、余弦?

●  衍生一下,P点的轨迹是可以求出来的——P距离点M的距离是定值,所以它是一个圆。

●  ……

经过这一系列思考之后,该学霸对这题的理解不仅非常深刻了,而且自动衍生出了很多其他内容。

 

好了,现在他再继续做下一道题:

略经思索,他想到,这题可以设一个过M的直线式子(只有一个未知数),然后和圆的方程联立,算出过M的直线方程,强行解除A和B点的坐标,然后算出直线ab的方程。

不过这样做计算量很大,大到几乎算不出来。

他开始怀疑,肯定有特殊思路可以巧算。

思考了好一阵子之后,他还是没有做出来(你看,清北级的学霸,也是会遇到不会做的题目的),于是他开始看答案。

在看答案的过程中,他立刻发现了关键步骤:

两个圆相交弦的直线方程,居然就是两个圆的方程相减?这么简单?

他大脑中立刻想到几个问题:

第一,这相当于补充了一个衍生公式,一条课本上没有讲过的衍生公式——两个圆的相交弦的直线方程,就是两个圆的方程相减。

第二,这个公式,自己需要去尝试证明一下,然后正式记录在笔记本上。

第三,当这个公式已经证明完了,学会了以后,再反过来看这个题,就可以做一个拆解了——这个题相当于考察的是【两圆相交弦公式+四点共圆】

第四,刚才我做那个题的时候,还猜测这个章节会用到什么几何关系,现在就补充了一个——四点共圆 也是会用到的。其可能的触发条件为:圆外一点做圆的切线,会形成四点共圆的几何关系。

第五,做几个衍生,这个题的周边出题方法(从易到难的阶梯序列)可以为

1、直接给出两个相交的圆,求直线方程;

2、直接给出两个相交的圆,求相交弦长——先求方程,再求点到直线距离,然后用圆半径与点线距公式和勾股定理,求弦长;

3、圆外一点做两切线,求直线方程——四点共圆+两圆相交弦公式

4、圆外一点做两切线,求切点弦弦长——先求直线方程,再转化为2

第六,衍生思考,如果两圆相切,那么强行套用刚才的公式,会得到什么结果呢?经尝试,发现得到的直线是两圆公共切线的方程。

第七,衍生思考,如果两圆相离,那么强行套用刚才的公式,会得到什么结果呢?经尝试,发现得到的直线方程没有什么特别的意义。

到此,学霸针对此题的思考才刚刚结束。

接着,这名学霸觉得是时候做个小结了。

经过他的分析,目前做的直线和圆关系的十几道题,大概也就是围绕着这么几个基本公式和定理来考察的:

1.   点到点的距离公式

2.   点到直线的距离公式

3.   线交圆弦长公式

4.   圆交圆弦方程公式

5.   圆交圆弦长公式

剩下的就是其他知识点与这几个基础知识点的组合了,比如几何关系、向量、线性规划等。

那么,他对这一章知识点的解析有没有遗漏呢?剩下的题目有没有超出他的总结归纳范围呢?

由于他今天晚自习的时间已经不多了(做额外的总结分析多花了很多时间),剩下的作业题有可能完不成了,需要赶一下时间,并且还要验证剩下的题目有没有超出他的总结归纳范围,所以他开始对剩下的题目使用【分层处理】策略,即,对简单题看而不做。

比如这样:

注意标了红框的地方,这就是他一眼就看出来了这个题的解题思路,发现并没有超出他刚才总结的地方,于是这些简单题就没必要动手算了。

这样效率就提高了。

当然,分层处理的使用有可能导致眼高手低出现,需要思维能力已经比较强,对策略掌握已经比较深的同学才能安全使用。那些能力强的人,可以在新知识刚学没多久就开始分层处理;而能力稍弱的人,安全起见,则需要到单元总结刷题阶段,甚至高三总复习阶段,再去分层处理。

好了,这就是本周的文章展示,以一个小小的数学板块为例,让大家近距离看了看清北级的策略型学霸是怎么学习的。这比那些天赋型学霸的学习过程更有意义,因为他们就是单纯的智商高,过程中没什么技巧可以复制学习。而我所演示的所有思维路径,以及策略,你都是可以复制的。

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